Prépa, 1re année › Variables aléatoires sur un univers fini › Fonctions de variables indépendantes
Fonctions de variables indépendantes : énoncé (MPSI)
Propriété
Fonctions de variables indépendantes
Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors pour toutes fonctions $f$ et $g$, les variables $f(X)$ et $g(Y)$ sont indépendantes.
Démonstration : Fonctions de variables indépendantes
Démonstration
Pour $a$ et $b$ quelconques, $(f(X)=a)=(X\in f^{-1}(\{a\}))$ et $(g(Y)=b)=(Y\in g^{-1}(\{b\}))$. Par la caractérisation par les parties, $$P(f(X)=a,g(Y)=b)=P\big(X\in f^{-1}(\{a\})\big)P\big(Y\in g^{-1}(\{b\})\big)=P(f(X)=a)P(g(Y)=b).$$
S’entraîner
- Deux tirages sans remise
- Somme et différence de deux Bernoulli
- Urnes vides
- Taille d'un échantillon de sondage
- Somme de deux lois binomiales indépendantes
Dans le cours
Variables aléatoires sur un univers fini : Fonctions de variables indépendantes