Prépa, 1re année › Variables aléatoires sur un univers fini › Propriétés de l'espérance
Propriétés de l'espérance : énoncé (MPSI)
Propriété
Propriétés de l'espérance
Pour $X,Y$ réelles et $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ :
- linéarité : $E(\lambda X+\mu Y)=\lambda E(X)+\mu E(Y)$ ;
- positivité : si $X\geqslant0$, alors $E(X)\geqslant0$ ;
- croissance : si $X\leqslant Y$, alors $E(X)\leqslant E(Y)$ ;
- pour une constante $a$, $E(a)=a$ ; pour un événement $A$, $E(\mathbf{1}_A)=P(A)$.
Démonstration : Propriétés de l'espérance
Démonstration
Avec l'expression sur $\Omega$ : $$E(\lambda X+\mu Y)=\sum_{\omega}\big(\lambda X(\omega)+\mu Y(\omega)\big)P(\{\omega\})=\lambda E(X)+\mu E(Y).$$ Si $X\geqslant 0$, chaque terme $X(\omega)P(\{\omega\})$ est positif, d'où $E(X)\geqslant0$. La croissance s'en déduit en appliquant la positivité à $Y-X$ et la linéarité. Enfin $E(\mathbf{1}_A)=1\cdot P(A)+0\cdot P(\overline A)=P(A)$.
S’entraîner
- Plus grand numéro tiré
- Tirs sur une cible
- Affluence dans un magasin
- Espérance par les queues de distribution
- Variance d'une variable bornée
Dans le cours
Variables aléatoires sur un univers fini : Propriétés de l'espérance