Exercice corrigé : Espérance par les queues de distribution

Soit $n\in\mathbb N^*$ et $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $[\![0,n]\!]$.

1. Montrer que $X=\sum_{k=1}^n\mathbf 1_{(X\geqslant k)}$, puis que $E(X)=\sum_{k=1}^nP(X\geqslant k)$.
2. On lance trois dés équilibrés indépendants ; on note $m$ le plus petit et $M$ le plus grand des trois résultats. Calculer $P(m\geqslant k)$ pour $k\in[\![1,6]\!]$, puis $E(m)$.
3. Calculer de même $E(M)$. Vérifier que $E(m)+E(M)=7$ et expliquer ce résultat.