La loi est une probabilité : énoncé (MPSI)
La loi est une probabilité
$P_X$ est une probabilité sur l'ensemble fini $X(\Omega)$.
Démonstration : La loi est une probabilité
On a $P_X(X(\Omega))=P(X\in X(\Omega))=P(\Omega)=1$.
Si $A$ et $B$ sont deux parties disjointes de $X(\Omega)$, les événements $(X\in A)$ et $(X\in B)$ sont incompatibles (un $\omega$ ne peut avoir son image à la fois dans $A$ et dans $B$) et $(X\in A\cup B)=(X\in A)\cup(X\in B)$. Donc $$P_X(A\cup B)=P(X\in A)+P(X\in B)=P_X(A)+P_X(B).$$ Ainsi $P_X$ est une probabilité sur $X(\Omega)$.
Existence
Réciproquement, si $x_1,\dots,x_n$ sont des éléments distincts et $p_1,\dots,p_n$ des réels positifs de somme $1$, il existe un espace probabilisé fini et une variable $X$ telle que $P(X=x_i)=p_i$ pour tout $i$ : il suffit de prendre $\Omega=\{x_1,\dots,x_n\}$, $P(\{x_i\})=p_i$ et $X=\mathrm{id}$. On peut donc parler d'« une variable de loi donnée » sans préciser $\Omega$.
S’entraîner
- Plus grand numéro tiré
- Loi du carré d'une variable uniforme
- Tirs sur une cible
- Loi définie à une constante près
- Deux tirages sans remise
Dans le cours
Variables aléatoires sur un univers fini : La loi est une probabilité