Déterminer la loi d'une variable aléatoire : méthode (MPSI)
Déterminer la loi d'une variable aléatoire
- Déterminer l'ensemble $X(\Omega)$ des valeurs prises.
- Pour chaque $x\in X(\Omega)$, calculer $P(X=x)$ (dénombrement en situation d'équiprobabilité, probabilités totales, indépendance...).
- Contrôler que la somme des probabilités vaut $1$.
- Présenter le résultat dans un tableau ou par une formule en $x$.
Somme de deux dés
On lance deux dés équilibrés : $\Omega=[\![1,6]\!]^2$ muni de l'équiprobabilité, $|\Omega|=36$. Soit $S$ la somme des deux faces. On a $S(\Omega)=[\![2,12]\!]$.
Pour $k\in[\![2,7]\!]$, les couples de somme $k$ sont $(1,k-1),\dots,(k-1,1)$ : il y en a $k-1$. Pour $k\in[\![7,12]\!]$, par symétrie, il y en a $13-k$. Dans les deux cas, ce nombre vaut $6-|k-7|$, d'où $$P(S=k)=\frac{6-|k-7|}{36},\qquad k\in[\![2,12]\!].$$ Contrôle : $\frac{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}{36}=\frac{36}{36}=1$.
Loi de $X^2$
Soit $X$ de loi uniforme sur $\{-2,-1,0,1,2\}$ et $Y=X^2$. Alors $Y(\Omega)=\{0,1,4\}$ et $$P(Y=0)=P(X=0)=\tfrac15,\quad P(Y=1)=P(X=-1)+P(X=1)=\tfrac25,\quad P(Y=4)=\tfrac25.$$
S’entraîner
- Plus grand numéro tiré
- Loi du carré d'une variable uniforme
- Tirs sur une cible
- Loi définie à une constante près
- Affluence dans un magasin
Dans le cours
Variables aléatoires sur un univers fini : Déterminer la loi d'une variable aléatoire