Espérance d'un produit de variables indépendantes : énoncé (MPSI)
Espérance d'un produit de variables indépendantes
Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $E(XY)=E(X)\,E(Y)$. Plus généralement, si $X_1,\dots,X_n$ sont mutuellement indépendantes, $E(X_1\cdots X_n)=E(X_1)\cdots E(X_n)$.
Démonstration : Espérance d'un produit de variables indépendantes
Par la formule de transfert appliquée au couple, puis l'indépendance : $$E(XY)=\sum_{x,y}xy\,P(X=x,Y=y)=\sum_{x,y}x\,P(X=x)\;y\,P(Y=y)=\Big(\sum_xxP(X=x)\Big)\Big(\sum_yyP(Y=y)\Big)=E(X)E(Y).$$ Le cas de $n$ variables s'obtient par récurrence avec le lemme des coalitions : $X_1\cdots X_{n-1}$ et $X_n$ sont indépendantes.
La réciproque est fausse
Soit $X\sim\mathcal{U}(\{-1,0,1\})$ et $Y=X^2$. On a $E(X)=0$ et $E(XY)=E(X^3)=\frac{-1+0+1}3=0$, donc $E(XY)=E(X)E(Y)$. Pourtant $P(X=0,Y=1)=0$ alors que $P(X=0)P(Y=1)=\frac13\cdot\frac23\neq0$ : $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.
S’entraîner
- Plus grand numéro tiré
- Tirs sur une cible
- Affluence dans un magasin
- Deux tirages sans remise
- Somme et différence de deux Bernoulli
Dans le cours
Variables aléatoires sur un univers fini : Espérance d'un produit de variables indépendantes