OffresSe connecter
Prépa, 1re année › Variables aléatoires sur un univers fini › Calculer une espérance

Calculer une espérance : méthode (MPSI)

Méthode

Calculer une espérance

  1. Si la loi est connue ou facile : appliquer la définition, ou la formule de transfert pour $E(f(X))$.
  2. Si la loi est difficile : écrire $X$ comme une somme d'indicatrices $X=\sum_i\mathbf{1}_{A_i}$, puis utiliser la linéarité : $E(X)=\sum_iP(A_i)$. Cette méthode ne demande aucune indépendance.
  3. Pour un produit : n'utiliser $E(XY)=E(X)E(Y)$ qu'après avoir justifié l'indépendance.
Exemple

Nombre de points fixes d'une permutation

Soit $n\geqslant2$ et $\sigma$ choisie uniformément dans $S_n$. Soit $X$ le nombre de points fixes de $\sigma$. La loi de $X$ est compliquée, mais $$X=\sum_{i=1}^n\mathbf{1}_{A_i},\qquad A_i=(\sigma(i)=i).$$ Les permutations fixant $i$ sont au nombre de $(n-1)!$, donc $P(A_i)=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac1n$. Par linéarité, $$E(X)=\sum_{i=1}^n\frac1n=1.$$ En moyenne, une permutation aléatoire a un point fixe, quel que soit $n$.

Exemple

Retour sur les exemples précédents

  • Somme de deux dés : $S=D_1+D_2$ avec $D_i\sim\mathcal U([\![1,6]\!])$, donc $E(S)=\frac72+\frac72=7$, sans utiliser la loi de $S$.
  • Couple de la section 3 : $E(Y)=1\cdot\frac{11}{18}+2\cdot\frac5{18}+3\cdot\frac2{18}=\frac{27}{18}=\frac32$.

S’entraîner

Dans le cours

Variables aléatoires sur un univers fini : Calculer une espérance