Cas non intégrable : comparaison des intégrales partielles : énoncé (MP)
Cas non intégrable : comparaison des intégrales partielles
Soit $g$ positive et non intégrable sur $[a,b[$, et $f$ continue par morceaux sur $[a,b[$.
- Si $f\underset b=o(g)$, alors $\int_a^xf\underset{x\to b}=o\left(\int_a^xg\right)$.
- Même énoncé avec $O$.
- Si $f\underset b\sim g$, alors $\int_a^xf\underset{x\to b}\sim\int_a^xg$.
Démonstration : Cas non intégrable : comparaison des intégrales partielles
Cas non intégrable, relation $o$. Notons $G(x)=\int_a^xg\to+\infty$. Soit $\varepsilon>0$ et $c\in[a,b[$ tel que $|f|\le\varepsilon g$ sur $[c,b[$. Pour $x\in[c,b[$, $$\left|\int_a^xf\right|\le\left|\int_a^cf\right|+\varepsilon\int_c^xg\le K+\varepsilon G(x),$$ avec $K$ indépendant de $x$. Comme $G(x)\to+\infty$, $K\le\varepsilon G(x)$ pour $x$ assez proche de $b$, d'où $\left|\int_a^xf\right|\le2\varepsilon G(x)$. Le cas $\sim$ s'en déduit en écrivant $f-g=o(g)$. Le cas intégrable est analogue, en majorant directement $\left|\int_x^bf\right|\le\varepsilon\int_x^bg$.
Reste de l'intégrale de Gauss
Posons $h(t)=-\frac{e^{-t^2}}{2t}$ pour $t>0$. Alors $h'(t)=e^{-t^2}+\frac{e^{-t^2}}{2t^2}\sim e^{-t^2}$ en $+\infty$. La fonction $e^{-t^2}$ est positive et intégrable, donc $$\int_x^{+\infty}e^{-t^2}\,\mathrm dt\underset{x\to+\infty}\sim\int_x^{+\infty}h'(t)\,\mathrm dt=0-h(x)=\frac{e^{-x^2}}{2x}.$$
Une intégrale partielle divergente
$g(t)=\frac{e^t}t$ est positive et non intégrable sur $[1,+\infty[$. La dérivée de $\frac{e^t}t$ vaut $\frac{e^t}t-\frac{e^t}{t^2}\sim g(t)$. Donc $$\int_1^x\frac{e^t}t\,\mathrm dt\sim\int_1^x\left(\frac{e^t}t\right)'\mathrm dt=\frac{e^x}x-e\sim\frac{e^x}x.$$
S’entraîner
- Quatre intégrales à étudier
- Calculs par changement de variable
- Intégrales à paramètre de type Riemann
- L'intégrale de $\frac{\sin t}t$
- Équivalents d'intégrales