Exercice corrigé : Réduction de l'endomorphisme M ↦ AM − MA

Soit $n\geq1$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. On définit sur $\mathcal M_n(\mathbb C)$ les applications $L_A:M\mapsto AM$, $R_A:M\mapsto MA$ et $\Phi_A=L_A-R_A$, soit $\Phi_A(M)=AM-MA$. On note $(E_{ij})$ la base canonique de $\mathcal M_n(\mathbb C)$.

1. Montrer que $L_A$, $R_A$, $\Phi_A$ sont des endomorphismes de $\mathcal M_n(\mathbb C)$, que $L_A\circ R_A=R_A\circ L_A$, et que $L_A^k=L_{A^k}$, $R_A^k=R_{A^k}$ pour tout $k\in\mathbb N$.
2. On suppose $A=QDQ^{-1}$ avec $Q\in\mathrm{GL}_n(\mathbb C)$ et $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$. Calculer $\Phi_A(QE_{ij}Q^{-1})$. En déduire que $\Phi_A$ est diagonalisable et que $\mathrm{Sp}(\Phi_A)=\{\lambda-\mu,\ \lambda,\mu\in\mathrm{Sp}(A)\}$.
3. On suppose $A$ nilpotente. Montrer que $\Phi_A^{2n-1}=0$.
4. Avec les hypothèses de 2, retrouver la dimension du commutant de $A$ en fonction des dimensions $d_1,\dots,d_r$ de ses sous-espaces propres.