Matrice compagnon : énoncé (MP)
Matrice compagnon
Pour $P=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0$ ($n\geq 2$), la matrice compagnon $$C_P=\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0&-a_0\\1&0&\cdots&0&-a_1\\0&1&\ddots&\vdots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0&-a_{n-2}\\0&\cdots&0&1&-a_{n-1}\end{pmatrix}$$ a pour polynôme caractéristique $\chi_{C_P}=P$.
Démonstration : Matrice compagnon
Preuve
Soit $M=XI_n-C_P$, de lignes $L_1,\dots,L_n$. L'opération $L_1\leftarrow L_1+XL_2+X^2L_3+\cdots+X^{n-1}L_n$ ne change pas le déterminant. Pour $1\leq j\leq n-1$, la colonne $j$ de $M$ contient $X$ en ligne $j$, $-1$ en ligne $j+1$ et $0$ ailleurs : le nouveau coefficient $(1,j)$ vaut $X^{j-1}\cdot X+X^j\cdot(-1)=0$. Le nouveau coefficient $(1,n)$ vaut $a_0+a_1X+\cdots+a_{n-2}X^{n-2}+X^{n-1}(X+a_{n-1})=P$.
En développant selon la première ligne, $\chi_{C_P}=(-1)^{1+n}P\,\det N$, où $N$ s'obtient en supprimant la ligne $1$ et la colonne $n$ de $M$. $N$ est triangulaire supérieure de diagonale $(-1,\dots,-1)$, donc $\det N=(-1)^{n-1}$ et $\chi_{C_P}=(-1)^{2n}P=P$.
S’entraîner
- Éléments propres et diagonalisation d'une matrice 3×3
- Une matrice de permutation
- Trigonalisation et puissances d'une matrice 2×2
- Une suite récurrente linéaire d'ordre 3
- Diagonalisabilité d'une famille de matrices triangulaires