Prépa, 2e année › Réduction des endomorphismes › Nilpotent et diagonalisable
Nilpotent et diagonalisable : énoncé (MP)
Propriété
Nilpotent et diagonalisable
Si $u$ est diagonalisable et $\mathrm{Sp}(u)=\{\lambda\}$, alors $u=\lambda\mathrm{Id}_E$ : en effet $\pi_u=X-\lambda$. Un nilpotent a pour seule valeur propre $0$ ($\chi_u=X^n$) ; donc un endomorphisme nilpotent et diagonalisable est nul.
Exemple
Retour sur l'exemple de trigonalisation
Avec $A=\begin{pmatrix}0&1&1\\-1&2&1\\0&0&1\end{pmatrix}$, la matrice $N=A-I_3=\begin{pmatrix}-1&1&1\\-1&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$ est non nulle et vérifie $N^2=0$ (calcul direct, ou $N^2=\mathrm{tr}(N)N$ avec $\mathrm{tr}(N)=0$ pour une matrice de rang $1$). $N$ est nilpotente d'indice $2$ et $\pi_A=(X-1)^2$, qui n'est pas à racines simples : on retrouve que $A$ n'est pas diagonalisable.
S’entraîner
- Éléments propres et diagonalisation d'une matrice 3×3
- Une matrice de permutation
- Trigonalisation et puissances d'une matrice 2×2
- Une suite récurrente linéaire d'ordre 3
- Diagonalisabilité d'une famille de matrices triangulaires