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Famille sommable de réels positifs : définition (MP)
Définition
Famille sommable de réels positifs
Pour une famille $(u_i)_{i\in I}$ d'éléments de $[0,+\infty]$, on pose $$\sum_{i\in I}u_i=\sup\Big\{\sum_{i\in F}u_i\ :\ F\subset I\text{ fini}\Big\}\in[0,+\infty].$$ La famille est sommable si cette borne supérieure est finie. Pour $I=\mathbb N$, on retrouve la somme de la série $\sum u_n$, qui ne dépend donc pas de l'ordre des termes.
S’entraîner
- Sommabilité de $\frac1{(p+q)^\alpha}$
- Deux sommes de restes de zêta
- $\sum\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$ par le lemme de Riemann-Lebesgue
Dans le cours
Séries numériques et familles sommables : Famille sommable de réels positifs