Exercice 15 · $\sum\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$ par le lemme de Riemann-Lebesgue
PremiumConcoursClassique des écrits (Centrale, CCINP)●●●Intégration par partiesSommes trigonométriquesLemme de Riemann-Lebesgue
- Lemme de Riemann-Lebesgue. Soit $\psi$ de classe $\mathcal C^1$ sur $[0,\pi]$. Montrer que $\int_0^\pi\psi(t)\sin(\lambda t)\,\mathrm dt\to0$ quand $\lambda\to+\infty$.
- Déterminer deux réels $a,b$ tels que, pour tout $n\ge1$, $\int_0^\pi(at+bt^2)\cos(nt)\,\mathrm dt=\frac1{n^2}$.
- Montrer que pour $t\in]0,\pi]$ et $n\ge1$ : $\sum_{k=1}^n\cos(kt)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac12\right)t\right)}{2\sin\frac t2}-\frac12$.
- On note $\varphi(t)=at+bt^2$ avec les valeurs trouvées en 2. On admet que $\psi:t\mapsto\frac{\varphi(t)}{2\sin(t/2)}$, prolongée par $\psi(0)=-1$, est de classe $\mathcal C^1$ sur $[0,\pi]$. En déduire que $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$.
Indice 1
Pour 1, intégrer par parties en dérivant $\psi$.
Indice 2
Pour 2, calculer $\int_0^\pi t\cos(nt)\,\mathrm dt$ et $\int_0^\pi t^2\cos(nt)\,\mathrm dt$ par parties, puis identifier.
Indice 3
Pour 3, partir de $2\sin\frac t2\cos(kt)=\sin\left(\left(k+\frac12\right)t\right)-\sin\left(\left(k-\frac12\right)t\right)$.
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