Théorème de Fubini pour les séries doubles : énoncé (MP)
Théorème de Fubini pour les séries doubles
Soit $(u_{p,q})_{(p,q)\in\mathbb N^2}$ une famille de complexes. Si $\sum_{p=0}^{+\infty}\sum_{q=0}^{+\infty}|u_{p,q}|<+\infty$ (calcul fait dans $[0,+\infty]$), la famille est sommable et $$\sum_{p=0}^{+\infty}\sum_{q=0}^{+\infty}u_{p,q}=\sum_{q=0}^{+\infty}\sum_{p=0}^{+\infty}u_{p,q}=\sum_{(p,q)\in\mathbb N^2}u_{p,q}.$$ Pour des termes positifs, l'égalité des deux sommes itérées est toujours vraie dans $[0,+\infty]$.
Interversion sans sommabilité
Posons $u_{p,p}=1$, $u_{p,p+1}=-1$ et $u_{p,q}=0$ sinon. Pour chaque $p$, $\sum_qu_{p,q}=1-1=0$, donc $\sum_p\sum_qu_{p,q}=0$. Pour chaque $q\ge1$, $\sum_pu_{p,q}=u_{q,q}+u_{q-1,q}=0$, et pour $q=0$ cette somme vaut $1$ : $\sum_q\sum_pu_{p,q}=1$. La famille n'est pas sommable ($\sum|u_{p,q}|=+\infty$) et l'interversion est fausse.
Une somme de restes de la fonction zêta
Pour $n\ge2$, $\zeta(n)-1=\sum_{k\ge2}\frac1{k^n}$. Les termes $\frac1{k^n}$ sont positifs : on peut intervertir sans condition. $$\sum_{n=2}^{+\infty}(\zeta(n)-1)=\sum_{k=2}^{+\infty}\sum_{n=2}^{+\infty}\frac1{k^n}=\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{1/k^2}{1-1/k}=\sum_{k=2}^{+\infty}\frac1{k(k-1)}=1.$$
S’entraîner
- Règle de d'Alembert
- Séries alternées
- Nature par équivalents
- Une série presque alternée
- Équivalents de restes
Dans le cours
Séries numériques et familles sommables : Théorème de Fubini pour les séries doubles