Soit $\alpha\in\mathbb R$. On considère la famille $\left(\frac1{(p+q)^\alpha}\right)_{(p,q)\in(\mathbb N^*)^2}$.
- Montrer qu'elle est sommable si et seulement si $\alpha>2$.
- Pour $\alpha=3$, exprimer sa somme à l'aide de $\zeta(2)=\sum\frac1{n^2}$ et $\zeta(3)=\sum\frac1{n^3}$.
Regrouper les couples selon la valeur de $n=p+q$.
Combien y a-t-il de couples $(p,q)\in(\mathbb N^*)^2$ avec $p+q=n$ ?
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Les termes sont positifs : on peut sommer par paquets dans $[0,+\infty]$, avec $I_n=\{(p,q)\in(\mathbb N^*)^2\ :\ p+q=n\}$ pour $n\ge2$. $I_n$ contient $n-1$ couples ($p=1,\dots,n-1$), donc $$\sum_{(p,q)}\frac1{(p+q)^\alpha}=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n-1}{n^\alpha}.$$ Or $\frac{n-1}{n^\alpha}\sim\frac1{n^{\alpha-1}}$ : la série converge si et seulement si $\alpha-1>1$, soit $\alpha>2$.
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Pour $\alpha=3$ : $\sum_{n\ge2}\frac{n-1}{n^3}=\sum_{n\ge2}\frac1{n^2}-\sum_{n\ge2}\frac1{n^3}=(\zeta(2)-1)-(\zeta(3)-1)=\zeta(2)-\zeta(3)$.
Sommable si et seulement si $\alpha>2$ ; pour $\alpha=3$, la somme vaut $\zeta(2)-\zeta(3)$.