Prépa, 2e année › Séries numériques et familles sommables › Justifier une interversion de sommes
Justifier une interversion de sommes : méthode (MP)
Méthode
Justifier une interversion de sommes
- Termes positifs : on intervertit librement, le résultat est dans $[0,+\infty]$.
- Termes complexes : on calcule d'abord $\sum_p\sum_q|u_{p,q}|$ (en intervertissant librement, puisque c'est positif). Si c'est fini, la famille est sommable et on intervertit.
- Le produit de Cauchy est un cas particulier : paquets $I_n=\{(p,q)\ :\ p+q=n\}$ pour la famille sommable $(a_pb_q)$.
S’entraîner
- Une série presque alternée
- Équivalents de sommes partielles
- Deux sommes de restes de zêta
- $\sum\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$ par le lemme de Riemann-Lebesgue
Dans le cours
Séries numériques et familles sommables : Justifier une interversion de sommes