Continuité sur un intervalle : définition (Terminale spé)
Continuité sur un intervalle
On dit que $f$ est continue sur $I$ lorsqu'elle est continue en tout réel $a$ de $I$.
Graphiquement, et de façon informelle : la courbe d'une fonction continue sur un intervalle se trace « sans lever le crayon ». Cette image aide à comprendre, mais elle ne constitue jamais une justification dans une copie.
Une fonction discontinue : la partie entière
La fonction partie entière $E$ associe à tout réel $x$ le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. Par exemple $E(2{,}7)=2$, $E(1)=1$, $E(-0{,}5)=-1$.
Pour $0\leqslant x<1$, $E(x)=0$, donc $\lim_{x\to 1^-}E(x)=0$. Or $E(1)=1$. La limite à gauche en $1$ est différente de $E(1)$ : $E$ n'est pas continue en $1$. Le même raisonnement montre que $E$ est discontinue en chaque entier. Sa courbe présente un « saut » en chaque entier.
En revanche, $E$ est constante donc continue sur chaque intervalle $[n\,;n+1[$ avec $n$ entier.
S’entraîner
- Continuité en un point de raccord
- Justifier la continuité d'une fonction
- Raccord avec paramètre, continuité sans dérivabilité
- Dichotomie pour approcher racine de 2
- Une équation avec l'exponentielle sur ℝ