Terminale › Continuité › Étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux en un point de raccord
Étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux en un point de raccord : méthode (Terminale spé)
Méthode
Étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux en un point de raccord
Soit $f$ définie par une expression à gauche de $a$ et une autre à droite (le point $a$ étant rattaché à l'une d'elles).
- Calculer $f(a)$ avec l'expression qui contient $a$.
- Calculer la limite à gauche $\lim_{x\to a^-}f(x)$ et la limite à droite $\lim_{x\to a^+}f(x)$.
- Conclure : $f$ est continue en $a$ si et seulement si ces deux limites existent et sont toutes deux égales à $f(a)$.
Exemple
Raccord avec un paramètre
Soit $k$ un réel et $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=\begin{cases} x+k & \text{si } x\leqslant 2\\ x^2 & \text{si } x>2\end{cases}$$
- $f(2)=2+k$.
- $\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}(x+k)=2+k$.
- $\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}x^2=4$.
$f$ est continue en $2$ si et seulement si $2+k=4$, c'est-à-dire $k=2$.
Sur $]-\infty\,;2[$ et sur $]2\,;+\infty[$, $f$ coïncide avec un polynôme, donc elle y est continue (voir section 2). Conclusion : $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $k=2$.
S’entraîner
- Continuité en un point de raccord
- Justifier la continuité d'une fonction
- Limite de l'image d'une suite convergente
- Existence de solutions par le théorème des valeurs intermédiaires
- Unique solution et encadrement
Dans le cours
Continuité : Étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux en un point de raccord