Déterminer la limite d'une suite $u_{n+1}=f(u_n)$ : méthode (Terminale spé)

Soit $f(x)=\sqrt{x+6}$ sur $[0\,;3]$ et $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}$.

Monotonie et bornes. Montrons par récurrence la propriété $P(n)$ : $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 3$.

• Initialisation : $u_0=0$ et $u_1=\sqrt6\approx 2{,}449$, donc $0\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant 3$.
• Hérédité : supposons $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 3$. La fonction $f$ est croissante sur $[0\,;3]$ (composée de $x\mapsto x+6$ et de la racine carrée, toutes deux croissantes). Donc $f(0)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(3)$, soit $\sqrt6\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 3$, et a fortiori $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 3$.
• Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.

Convergence. $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$ : elle converge vers un réel $\ell$, avec $0\leqslant \ell\leqslant 3$.

Limite. $f$ est continue sur $[0\,;3]$, donc $\ell=\sqrt{\ell+6}$. En élevant au carré (les deux membres sont positifs) : $\ell^2=\ell+6$, soit $\ell^2-\ell-6=0$, ou encore $(\ell-3)(\ell+2)=0$. Comme $\ell\geqslant 0$, on obtient $\ell=3$.

Conclusion : $\lim_{n\to+\infty}u_n=3$.