Limite d'une suite récurrente : énoncé (Terminale spé)
Limite d'une suite récurrente
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, à valeurs dans $I$, et $(u_n)$ définie par $u_0\in I$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Si $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ appartenant à $I$, alors $\ell$ vérifie $$f(\ell)=\ell.$$ On dit que $\ell$ est un point fixe de $f$.
Démonstration : Limite d'une suite récurrente
Preuve du théorème du point fixe
La suite $(u_{n+1})$ est la suite $(u_n)$ décalée d'un rang : elle converge aussi vers $\ell$.
Par ailleurs, $(u_n)$ converge vers $\ell\in I$ et $f$ est continue en $\ell$ ; d'après le théorème précédent, $\big(f(u_n)\big)$ converge vers $f(\ell)$.
Or $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$. Une suite convergente a une seule limite, donc $\ell=f(\ell)$.
Ce que ce théorème ne dit pas
Le théorème ne prouve pas que la suite converge. Il faut d'abord établir la convergence (souvent par le théorème de convergence monotone), puis résoudre $f(\ell)=\ell$.
L'équation $f(\ell)=\ell$ peut avoir plusieurs solutions : on élimine celles qui sont incompatibles avec les informations connues sur la suite (bornes, sens de variation, signe).
S’entraîner
- Limite de l'image d'une suite convergente
- Raccord avec paramètre, continuité sans dérivabilité
- Limite d'une suite récurrente homographique
- Une équation avec l'exponentielle sur ℝ
- Suite définie par les solutions d'une équation