Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, définies pour $n\geqslant 1$.
- $v_n=\mathrm{e}^{\frac{2n+1}{n+3}}$.
- $w_n=\sqrt{9+\dfrac{1}{n+1}}$.
- $t_n=\cos\left(\dfrac{\pi n}{2n+1}\right)$.
Chaque suite s'écrit $f(u_n)$ : identifier la suite $(u_n)$ et la fonction $f$.
Déterminer la limite $\ell$ de $(u_n)$ en factorisant par $n$ au numérateur et au dénominateur si besoin.
Justifier que $f$ est continue en $\ell$ avant de conclure.
- Posons $u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}$. Pour $n\geqslant 1$, $u_n=\dfrac{2+\frac1n}{1+\frac3n}$. Comme $\frac1n\to 0$ et $\frac3n\to 0$, on obtient $\lim u_n=\dfrac{2}{1}=2$.
La fonction exponentielle est continue en $2$. Donc $(v_n)=(\mathrm{e}^{u_n})$ converge vers $\mathrm{e}^2$.
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Posons $u_n=9+\dfrac{1}{n+1}$. Comme $\dfrac{1}{n+1}\to 0$, $\lim u_n=9$. La racine carrée est continue en $9$, donc $(w_n)$ converge vers $\sqrt9=3$.
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Posons $u_n=\dfrac{\pi n}{2n+1}=\dfrac{\pi}{2+\frac1n}$. Comme $\frac1n\to 0$, $\lim u_n=\dfrac{\pi}{2}$. La fonction cosinus est continue en $\dfrac{\pi}{2}$, donc $(t_n)$ converge vers $\cos\dfrac{\pi}{2}=0$.
$\lim v_n=\mathrm{e}^2$ ; $\lim w_n=3$ ; $\lim t_n=0$