On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+3}{x+2}$, et la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
- Montrer que pour tout $x\geqslant 0$, $f(x)=2-\dfrac{1}{x+2}$. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0\,;+\infty[$.
- Calculer $f(1)$ et $f(2)$.
- Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 2$.
- En déduire que $(u_n)$ converge, puis déterminer sa limite.
Pour la question 1, réduire $2-\dfrac{1}{x+2}$ au même dénominateur, puis dériver.
Dans l'hérédité, appliquer la fonction croissante $f$ aux trois membres de l'inégalité.
Pour la limite, justifier la continuité de $f$ sur $[1\,;2]$ avant d'écrire $f(\ell)=\ell$.
- Pour $x\geqslant 0$ : $2-\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{2(x+2)-1}{x+2}=\dfrac{2x+3}{x+2}=f(x)$.
$f$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ (fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas) et $f'(x)=\dfrac{1}{(x+2)^2}>0$. Donc $f$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.
-
$f(1)=\dfrac{5}{3}$ et $f(2)=\dfrac{7}{4}$.
-
Notons $P(n)$ la propriété : $1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 2$.
- Initialisation : $u_0=1$ et $u_1=f(1)=\dfrac53\approx 1{,}67$. On a bien $1\leqslant 1\leqslant \dfrac53\leqslant 2$ : $P(0)$ est vraie.
- Hérédité : supposons $P(n)$ vraie pour un entier $n$. Comme $f$ est croissante sur $[1\,;2]$, on obtient $f(1)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(2)$, c'est-à-dire $\dfrac53\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant\dfrac74$. Or $1\leqslant\dfrac53$ et $\dfrac74\leqslant 2$, donc $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 2$ : $P(n+1)$ est vraie.
- Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.
- La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$ : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel $\ell$. En passant à la limite dans $1\leqslant u_n\leqslant 2$, on obtient $1\leqslant\ell\leqslant 2$.
$f$ est continue sur $[1\,;2]$ (fonction rationnelle, dénominateur $x+2\geqslant 3$), et $u_{n+1}=f(u_n)$. D'après le théorème du point fixe, $f(\ell)=\ell$ : $$\frac{2\ell+3}{\ell+2}=\ell\iff 2\ell+3=\ell^2+2\ell\iff\ell^2=3\iff \ell=\sqrt3\ \text{ou}\ \ell=-\sqrt3.$$ (On a multiplié par $\ell+2\neq 0$.) Comme $\ell\geqslant 1$, on retient $\ell=\sqrt3\approx 1{,}732$, qui appartient bien à $[1\,;2]$.
Conclusion : $\lim_{n\to+\infty}u_n=\sqrt3$.
$\lim u_n=\sqrt{3}$