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Image d'une suite convergente par une fonction continue (admis) : énoncé (Terminale spé)
Théorème
Image d'une suite convergente par une fonction continue (admis)
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite de réels de $I$.
Si $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ appartenant à $I$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors la suite $\big(f(u_n)\big)$ converge vers $f(\ell)$ : $$\lim_{n\to+\infty}f(u_n)=f\Big(\lim_{n\to+\infty}u_n\Big).$$
Exemple
Application directe
Soit $v_n=\mathrm{e}^{\frac{1}{n+1}}$. La suite $u_n=\dfrac{1}{n+1}$ converge vers $0$ et la fonction exponentielle est continue en $0$. Donc $(v_n)$ converge vers $\mathrm{e}^0=1$.
De même, $\sqrt{4+\dfrac{1}{n+1}}\to\sqrt4=2$ car la racine carrée est continue en $4$.
S’entraîner
- Continuité en un point de raccord
- Justifier la continuité d'une fonction
- Limite de l'image d'une suite convergente
- Existence de solutions par le théorème des valeurs intermédiaires
- Unique solution et encadrement
Dans le cours
Continuité : Image d'une suite convergente par une fonction continue (admis)