Cardinal du complémentaire : énoncé (Terminale spé)
Cardinal du complémentaire
Soit $E$ un ensemble fini et $A$ une partie de $E$. On note $\overline{A}$ le complémentaire de $A$ dans $E$. Alors $$\mathrm{card}(\overline{A})=\mathrm{card}(E)-\mathrm{card}(A).$$
Démonstration : Cardinal du complémentaire
Cardinal du complémentaire
Les ensembles $A$ et $\overline{A}$ sont disjoints (un élément de $E$ ne peut pas être à la fois dans $A$ et hors de $A$) et leur réunion est $E$.
D'après le principe additif : $\mathrm{card}(E)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(\overline{A})$, d'où $\mathrm{card}(\overline{A})=\mathrm{card}(E)-\mathrm{card}(A)$.
Réunion quelconque de deux ensembles
Si $A$ et $B$ ne sont pas disjoints, on a $$\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B).$$ En additionnant $\mathrm{card}(A)$ et $\mathrm{card}(B)$, on compte deux fois les éléments de $A\cap B$ : on les retire une fois.
Justification : $A\cup B$ est la réunion disjointe de $A$ et de $B\setminus A$, et $B$ est la réunion disjointe de $A\cap B$ et de $B\setminus A$. Donc $\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B\setminus A)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B)$.
Élèves et langues vivantes
Dans une classe de 35 élèves, chaque élève étudie l'allemand ou l'espagnol (éventuellement les deux). 20 élèves étudient l'allemand et 18 l'espagnol.
On note $A$ l'ensemble des germanistes et $B$ celui des hispanistes. Alors $A\cup B$ est la classe entière, donc $\mathrm{card}(A\cup B)=35$.
$$\mathrm{card}(A\cap B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cup B)=20+18-35=3.$$ Trois élèves étudient les deux langues.
S’entraîner
- Codes à quatre chiffres
- Parties d'un ensemble à six éléments
- Entiers à trois chiffres
- Délégation dans une classe
- Chemins sur un quadrillage