Nombre de k-uplets : énoncé (Terminale spé)

Pour $k\geqslant 1$, on note $\mathcal{P}(k)$ : « $\mathrm{card}(E^k)=n^k$ ».

Initialisation. $E^1$ est l'ensemble des 1-uplets $(x_1)$ avec $x_1\in E$ : il y en a $n=n^1$. $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\geqslant 1$ tel que $\mathcal{P}(k)$ est vraie. Un $(k+1)$-uplet $(x_1;\ldots;x_k;x_{k+1})$ s'identifie au couple formé du k-uplet $(x_1;\ldots;x_k)\in E^k$ et de l'élément $x_{k+1}\in E$. Donc $E^{k+1}$ s'identifie à $E^k\times E$ et, par le principe multiplicatif et l'hypothèse de récurrence : $$\mathrm{card}(E^{k+1})=\mathrm{card}(E^k)\times\mathrm{card}(E)=n^k\times n=n^{k+1}.$$ $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion. Pour tout $k\geqslant 1$, $\mathrm{card}(E^k)=n^k$.