Principe multiplicatif : énoncé (Terminale spé)
Principe multiplicatif
Si $E$ et $F$ sont finis, alors $$\mathrm{card}(E\times F)=\mathrm{card}(E)\times\mathrm{card}(F).$$ Plus généralement, pour des ensembles finis $E_1,\ldots,E_p$ : $$\mathrm{card}(E_1\times\cdots\times E_p)=\mathrm{card}(E_1)\times\cdots\times\mathrm{card}(E_p).$$ En pratique : si une construction se fait en plusieurs étapes successives, et que le nombre de choix à chaque étape ne dépend pas des choix précédents, le nombre total de résultats est le produit des nombres de choix.
Démonstration : Principe multiplicatif
Principe multiplicatif pour deux ensembles
On note $n=\mathrm{card}(E)$, $p=\mathrm{card}(F)$ et $E=\{a_1;\ldots;a_n\}$.
Pour chaque $i$, l'ensemble $\{a_i\}\times F$ des couples de première composante $a_i$ contient exactement $p$ éléments : $(a_i;y)$ pour $y\in F$.
Ces $n$ ensembles sont deux à deux disjoints (deux couples de premières composantes différentes sont différents) et leur réunion est $E\times F$.
D'après le principe additif : $$\mathrm{card}(E\times F)=\underbrace{p+p+\cdots+p}_{n\text{ termes}}=n\times p.$$
S’entraîner
- Codes à quatre chiffres
- Entiers à trois chiffres
- Anagrammes
- Délégation dans une classe
- Chemins sur un quadrillage