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Étudier la convexité d'une fonction : méthode (Terminale spé)
Méthode
Étudier la convexité d'une fonction
- Préciser l'intervalle d'étude et justifier que $f$ est deux fois dérivable.
- Calculer $f'(x)$, puis $f''(x)$.
- Mettre $f''(x)$ sous forme factorisée et étudier son signe (tableau de signes).
- Conclure : $f$ convexe là où $f''\geqslant 0$, concave là où $f''\leqslant 0$.
Si l'on connaît seulement $f'$ par sa courbe ou son tableau de variations, on utilise : $f$ convexe là où $f'$ est croissante.
Exemple
Exemple complet
$f(x)=\sqrt{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$. Comme $x^2+1>0$, $f$ est dérivable et $$f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.$$ Par la formule du quotient, avec $(\sqrt{x^2+1})'=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ : $$f''(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}-x\times\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}.$$ $f''(x)>0$ pour tout réel $x$ : $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
S’entraîner
- Dériver des fonctions composées
- Composer dans les deux sens
- Convexité d'une fonction polynôme de degré 4
- Lire la convexité sur le tableau de variations de f'
- Convexité d'un produit avec l'exponentielle
Dans le cours
Compléments sur la dérivation, convexité : Étudier la convexité d'une fonction