Position par rapport aux tangentes (démonstration exigible) : énoncé (Terminale spé)

Soit $a\in I$. La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

On définit sur $I$ la fonction $g$ par $$g(x)=f(x)-\big[f'(a)(x-a)+f(a)\big].$$ Il s'agit de montrer que $g(x)\geqslant 0$ pour tout $x\in I$.

$g$ est dérivable sur $I$ et, $f'(a)$ et $f(a)$ étant des constantes, $$g'(x)=f'(x)-f'(a).$$

Comme $f''\geqslant 0$ sur $I$, la fonction $f'$ est croissante sur $I$. Donc :

• si $x\leqslant a$, $f'(x)\leqslant f'(a)$, soit $g'(x)\leqslant 0$ ;
• si $x\geqslant a$, $f'(x)\geqslant f'(a)$, soit $g'(x)\geqslant 0$.

$g$ est décroissante sur $I\cap]-\infty\,;a]$ et croissante sur $I\cap[a\,;+\infty[$ : elle admet donc en $a$ un minimum égal à $$g(a)=f(a)-\big[f'(a)\times 0+f(a)\big]=0.$$ Ainsi $g(x)\geqslant 0$ pour tout $x\in I$, c'est-à-dire $f(x)\geqslant f'(a)(x-a)+f(a)$ : la courbe est au-dessus de sa tangente en $a$. Ceci valant pour tout $a\in I$, le résultat est démontré.

Pour $f''\leqslant 0$, on applique ce résultat à $-f$ : la courbe de $f$ est en dessous de ses tangentes.