Caractérisations de la convexité (admis) : énoncé (Terminale spé)

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Les propositions suivantes sont équivalentes :

1. $f$ est convexe sur $I$ ;
2. $f'$ est croissante sur $I$ ;
3. $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$.

Si de plus $f$ est deux fois dérivable sur $I$ : $$f \text{ convexe sur } I \iff f''(x)\geqslant 0 \text{ pour tout } x\in I.$$

De même, $f$ concave sur $I$ $\iff$ $f'$ décroissante sur $I$ $\iff$ $\mathcal{C}_f$ en dessous de ses tangentes $\iff$ $f''\leqslant 0$ sur $I$.