Exercice corrigé : Retrouver une fonction à partir de son point d'inflexion

On cherche une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$, où $a$, $b$, $c$ sont des réels, telle que sa courbe admette le point $A(2\,;3)$ comme point d'inflexion, avec une tangente horizontale en $A$.

1. Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
2. Justifier que la courbe de $f$ a un unique point d'inflexion et exprimer son abscisse en fonction de $a$.
3. Traduire les conditions de l'énoncé et déterminer $a$, $b$ et $c$.
4. Vérifier que, pour tout réel $x$, $f(x)=(x-2)^3+3$.
5. Étudier la position de la courbe par rapport à sa tangente en $A$.