On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=e^x-1-x-\frac{x^2}{2}$.
- Rappeler l'inégalité de convexité vérifiée par $e^x$ et la tangente en $0$.
- Calculer $g'(x)$ et $g''(x)$.
- Étudier la convexité de $g$ sur $[0\,;+\infty[$, puis déterminer la tangente à la courbe de $g$ en $0$. En déduire que, pour tout $x\geqslant 0$, $e^x\geqslant 1+x+\frac{x^2}{2}$.
- Que peut-on dire pour $x\leqslant 0$ ? En déduire un encadrement de $e^x$ valable pour tout $x\leqslant 0$.
- Application : encadrer $e^{-0{,}1}$ et minorer $e^{0{,}1}$.
Le signe de $e^x-1$ dépend de la position de $x$ par rapport à $0$.
Calculer $g(0)$ et $g'(0)$ : la tangente en $0$ est très simple.
Sur $]-\infty\,;0]$, $g$ est concave : où est la courbe par rapport à ses tangentes ?
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$\exp$ est convexe sur $\mathbb{R}$ et sa tangente en $0$ est $y=1+x$ : pour tout réel $x$, $e^x\geqslant 1+x$.
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$g$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ : $$g'(x)=e^x-1-x \qquad g''(x)=e^x-1.$$
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Pour $x\geqslant 0$, $e^x\geqslant e^0=1$ (croissance de $\exp$), donc $g''(x)\geqslant 0$ : $g$ est convexe sur $[0\,;+\infty[$.
$g(0)=1-1-0-0=0$ et $g'(0)=1-1-0=0$ : la tangente en $0$ est la droite $y=0$. La courbe de $g$ étant au-dessus de ses tangentes sur $[0\,;+\infty[$, on a $g(x)\geqslant 0$ pour tout $x\geqslant 0$, c'est-à-dire $$e^x\geqslant 1+x+\frac{x^2}{2}.$$
- Pour $x\leqslant 0$, $e^x\leqslant 1$, donc $g''(x)\leqslant 0$ : $g$ est concave sur $]-\infty\,;0]$, sa courbe est en dessous de sa tangente $y=0$. Donc $g(x)\leqslant 0$, soit $e^x\leqslant 1+x+\frac{x^2}{2}$ pour $x\leqslant 0$.
Avec la question 1, pour tout $x\leqslant 0$ : $$1+x\leqslant e^x\leqslant 1+x+\frac{x^2}{2}.$$
- Pour $x=-0{,}1$ : $1+x=0{,}9$ et $1+x+\frac{x^2}{2}=0{,}9+0{,}005=0{,}905$. Donc $0{,}9\leqslant e^{-0{,}1}\leqslant 0{,}905$.
Pour $x=0{,}1\geqslant 0$ : $e^{0{,}1}\geqslant 1+0{,}1+0{,}005=1{,}105$.
La calculatrice donne $e^{-0{,}1}\approx 0{,}9048$ et $e^{0{,}1}\approx 1{,}1052$.
$e^x\geqslant 1+x+\frac{x^2}{2}$ pour $x\geqslant0$ ; $1+x\leqslant e^x\leqslant 1+x+\frac{x^2}{2}$ pour $x\leqslant 0$ ; $0{,}9\leqslant e^{-0{,}1}\leqslant 0{,}905$