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Terminale › Arithmétique › Résoudre une équation diophantienne ax + by = c

Résoudre une équation diophantienne ax + by = c : méthode (Maths expertes)

Méthode

Résoudre une équation diophantienne ax + by = c

  1. On calcule $d = \mathrm{PGCD}(a, b)$. Si $d \nmid c$, il n'y a pas de solution. Sinon, on divise l'équation par $d$ pour se ramener à $a$ et $b$ premiers entre eux.
  2. On trouve une solution particulière $(x_0, y_0)$ : évidente, ou à partir d'une relation de Bézout multipliée par $c$.
  3. On soustrait : $a(x - x_0) = -b(y - y_0)$.
  4. $a$ divise $b(y - y_0)$ et $\mathrm{PGCD}(a,b) = 1$, donc $a \mid y - y_0$ par Gauss. On en déduit $y$, puis $x$, en fonction d'un entier $k$.
  5. On vérifie que tous les couples obtenus sont bien solutions (réciproque).
Exemple

Résoudre 11x − 7y = 5 dans Z²

$\mathrm{PGCD}(11, 7) = 1$. On remarque $11 \times 2 - 7 \times 3 = 1$. En multipliant par $5$ : $11 \times 10 - 7 \times 15 = 5$. Donc $(10 ; 15)$ est solution.

Si $(x, y)$ est solution, par différence : $11(x - 10) - 7(y - 15) = 0$, soit $11(x - 10) = 7(y - 15)$.

$7$ divise $11(x - 10)$ et $\mathrm{PGCD}(7, 11) = 1$, donc par le théorème de Gauss $7 \mid x - 10$ : $x = 10 + 7k$ avec $k \in \mathbb{Z}$. En reportant : $11 \times 7k = 7(y - 15)$, d'où $y = 15 + 11k$.

Réciproquement, $11(10 + 7k) - 7(15 + 11k) = 110 - 105 + 77k - 77k = 5$.

Les solutions sont les couples $(10 + 7k ; 15 + 11k)$, $k \in \mathbb{Z}$. En remplaçant $k$ par $k - 1$, on peut aussi les écrire $(3 + 7k ; 4 + 11k)$.

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Dans le cours

Arithmétique : Résoudre une équation diophantienne ax + by = c