On cherche les entiers relatifs $n$ vérifiant le système $$(S) : \begin{cases} n \equiv 2 \;[5] \\ n \equiv 3 \;[7] \end{cases}$$
- a) Soit $n = 5k + 2$ avec $k \in \mathbb{Z}$. Montrer que $n \equiv 3 \;[7]$ si et seulement si $k \equiv 3 \;[7]$.
b) En déduire une solution de $(S)$.
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Montrer que $n$ est solution de $(S)$ si et seulement si $n \equiv 17 \;[35]$.
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Un groupe compte entre $100$ et $200$ personnes. Rangées par $5$, il en reste $2$ ; rangées par $7$, il en reste $3$ ; rangées par $4$, il en reste $1$. Combien y a-t-il de personnes dans le groupe ?
$n \equiv 3 \;[7]$ s'écrit $5k \equiv 1 \;[7]$. Chercher un inverse de $5$ modulo $7$.
Si $n$ et $17$ sont deux solutions, que dire de $n - 17$ modulo $5$ et modulo $7$ ?
Écrire le nombre de personnes sous la forme $17 + 35k$, encadrer $k$, puis tester la troisième condition.
1. a) $n \equiv 3 \;[7]$ équivaut à $5k + 2 \equiv 3 \;[7]$, soit $5k \equiv 1 \;[7]$.
- Si $5k \equiv 1 \;[7]$ : on multiplie par $3$ (car $5 \times 3 = 15 \equiv 1 \;[7]$), d'où $15k \equiv 3 \;[7]$, soit $k \equiv 3 \;[7]$.
- Si $k \equiv 3 \;[7]$ : $5k \equiv 15 \equiv 1 \;[7]$.
Donc $n \equiv 3 \;[7]$ si et seulement si $k \equiv 3 \;[7]$.
b) Avec $k = 3$ : $n = 17$. On a $17 = 3 \times 5 + 2$ et $17 = 2 \times 7 + 3$, donc $17$ est solution de $(S)$.
2. Supposons $n$ solution. Alors $n \equiv 2 \equiv 17 \;[5]$ et $n \equiv 3 \equiv 17 \;[7]$, donc $5 \mid n - 17$ et $7 \mid n - 17$. Comme $5$ et $7$ sont premiers entre eux, le corollaire du théorème de Gauss donne $35 \mid n - 17$, soit $n \equiv 17 \;[35]$.
Réciproquement, si $n = 17 + 35j$ avec $j \in \mathbb{Z}$, alors $n = 17 + 5 \times 7j \equiv 17 \equiv 2 \;[5]$ et $n = 17 + 7 \times 5j \equiv 17 \equiv 3 \;[7]$.
Les solutions de $(S)$ sont les entiers $n = 17 + 35j$, $j \in \mathbb{Z}$.
3. Le nombre $N$ de personnes vérifie $(S)$, donc $N = 17 + 35j$ avec $j \in \mathbb{Z}$. La condition $100 \leqslant N \leqslant 200$ équivaut à $83 \leqslant 35j \leqslant 183$. Or $35 \times 2 = 70 < 83$, $35 \times 3 = 105$, $35 \times 5 = 175 \leqslant 183$ et $35 \times 6 = 210 > 183$. Donc $j \in \{3 ; 4 ; 5\}$ et $N \in \{122 ; 157 ; 192\}$.
Division par $4$ : $122 = 4 \times 30 + 2$, $157 = 4 \times 39 + 1$, $192 = 4 \times 48 + 0$. Seul $157$ donne un reste égal à $1$.
Le groupe compte $157$ personnes.
n = 17 + 35j, j ∈ Z ; 157 personnes