Exercice corrigé : Nombres de Mersenne

1. Si $a = 1$, $M_a = 1$ divise tout entier. Supposons $a \geqslant 2$ ; alors $M_a = 2^a - 1 \geqslant 3$. Comme $M_a$ divise $2^a - 1$, on a $2^a \equiv 1 \;[M_a]$. Par compatibilité avec les puissances : $$2^{ab} = \left(2^a\right)^b \equiv 1^b = 1 \;[M_a].$$ Donc $M_a$ divise $2^{ab} - 1 = M_{ab}$.

2. On raisonne par contraposée. Supposons $n \geqslant 2$ non premier : $n = ab$ avec $2 \leqslant a \leqslant b \leqslant n - 1$. D'après la question 1, $M_a$ divise $M_n$. De plus :

• $a \geqslant 2$, donc $M_a \geqslant 2^2 - 1 = 3 > 1$ ;
• $a < n$, donc $2^a < 2^n$ et $M_a < M_n$.

$M_n$ admet donc un diviseur positif différent de $1$ et de $M_n$ : $M_n$ n'est pas premier. Par contraposée, si $M_n$ est premier, alors $n$ est premier.

3. a) $2^5 = 32 = 23 + 9$, donc $2^5 \equiv 9 \;[23]$. Puis $2^{10} \equiv 81 = 3 \times 23 + 12$, donc $2^{10} \equiv 12 \;[23]$, et $2^{11} \equiv 24 \equiv 1 \;[23]$. Ainsi $23$ divise $2^{11} - 1 = M_{11}$. On a d'ailleurs $M_{11} = 2047 = 23 \times 89$.

b) $11$ est premier, mais $M_{11} = 23 \times 89$ n'est pas premier. La réciproque est fausse.

4. $15 = 3 \times 5$. D'après la question 1, $M_3 = 7$ et $M_5 = 31$ divisent $M_{15}$. Ces deux entiers sont premiers. Donc $7$ et $31$ sont deux diviseurs premiers de $M_{15}$. (On peut contrôler : $M_{15} = 32767 = 7 \times 31 \times 151$.)

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