Exercice corrigé : Passes entre quatre joueurs

Quatre joueurs, numérotés $1$, $2$, $3$, $4$, se font des passes : à chaque passe, le porteur du ballon l'envoie à l'un des trois autres joueurs. On modélise la situation par le graphe complet d'ordre $4$ ; une suite de $n$ passes est une chaîne de longueur $n$. On note $M$ la matrice d'adjacence de ce graphe et $J$ la matrice carrée d'ordre $4$ dont tous les coefficients valent $1$.

1. Justifier que $M=J-I_4$ et que $J^2=4J$.
2. Montrer que $M^2=2M+3I_4$. En déduire que $M$ est inversible et exprimer $M^{-1}$ en fonction de $J$ et $I_4$.
3. On pose, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\alpha_n=\dfrac{3^n-(-1)^n}{4}$. Démontrer par récurrence que $M^n=\alpha_nJ+(-1)^nI_4$.
4. Le joueur $1$ a le ballon au départ. Combien de suites de $n$ passes ramènent le ballon au joueur $1$ ? Donner la valeur pour $n=10$, ainsi que le nombre de suites de $10$ passes qui amènent le ballon au joueur $2$. Contrôler la cohérence avec le nombre total de suites de $10$ passes.
5. À chaque passe, le receveur est choisi au hasard parmi les trois autres joueurs, indépendamment des passes précédentes. Déterminer la probabilité $r_n$ que le ballon soit revenu au joueur $1$ après $n$ passes, puis la limite de $r_n$.