Soit $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.
- Calculer $A^2$ et $A^3$.
- Conjecturer l'expression de $A^n$ pour $n\geqslant 1$, puis la démontrer par récurrence. Vérifier que la formule reste vraie pour $n=0$.
- On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=0$, $v_0=1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $$\begin{cases} u_{n+1}=2u_n+v_n \\ v_{n+1}=2v_n \end{cases}$$ Exprimer $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
Les coefficients diagonaux se comportent comme des puissances de $2$ ; regarder le coefficient en haut à droite divisé par une puissance de $2$.
Dans l'hérédité, calculer $A^{n+1}=A^nA$ avec l'hypothèse de récurrence.
Poser $U_n=\begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$ : alors $U_n=A^nU_0$.
-
$$A^2=\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix},\qquad A^3=A^2A=\begin{pmatrix} 8 & 4+8 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & 12 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}.$$
-
On a $1=1\times 2^0$, $4=2\times 2^1$, $12=3\times 2^2$. On conjecture, pour $n\geqslant 1$ : $$A^n=\begin{pmatrix} 2^n & n2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}.$$ Initialisation : pour $n=1$, la formule donne $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=A$.
Hérédité : supposons la formule vraie au rang $n\geqslant 1$. Alors $$A^{n+1}=A^nA=\begin{pmatrix} 2^n & n2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^{n+1} & 2^n+n2^n \\ 0 & 2^{n+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^{n+1} & (n+1)2^n \\ 0 & 2^{n+1} \end{pmatrix}.$$ C'est la formule au rang $n+1$.
Conclusion : la formule est vraie pour tout $n\geqslant 1$. Pour $n=0$, elle donne $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I_2=A^0$ : elle est vraie aussi.
- Avec $U_n=\begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$, le système s'écrit $U_{n+1}=AU_n$, donc $U_n=A^nU_0$ pour tout $n$. Comme $U_0=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $U_n$ est la deuxième colonne de $A^n$ : $$u_n=n2^{n-1},\qquad v_n=2^n.$$ Contrôle : $u_1=2\times 0+1=1$ et $u_2=2\times 1+2=4$ ; la formule donne $1\times 2^0=1$ et $2\times 2^1=4$.
$A^n=\begin{pmatrix} 2^n & n2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$ ; $u_n=n2^{n-1}$, $v_n=2^n$