Dans le plan complexe, déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant chacune des conditions suivantes.
- $|z-1+2i|=3$
- $|z-3|=|z+i|$ ; on donnera aussi une équation cartésienne.
- $|z-2|=2|z+1|$
- $|\overline{z}+2i|=1$
On écrit chaque module sous la forme $|z-a|$, qui est la distance $AM$.
Quand la condition ne se lit pas directement, on pose $z=x+iy$ et on élève au carré (les deux membres sont positifs).
Pour la dernière, on reconnaît le conjugué d'un nombre de la forme $z-a$.
1. $|z-1+2i|=|z-(1-2i)|$. Avec $\Omega(1-2i)$, la condition s'écrit $\Omega M=3$. L'ensemble est le cercle de centre $\Omega(1;-2)$ et de rayon $3$.
2. Avec $A(3)$ et $B(-i)$, la condition s'écrit $MA=MB$ : l'ensemble est la médiatrice de $[AB]$. En posant $z=x+iy$ et en élevant au carré (les deux membres sont positifs) : $$(x-3)^2+y^2=x^2+(y+1)^2\iff -6x+9=2y+1\iff 3x+y-4=0.$$ Contrôle : le milieu de $[AB]$, de coordonnées $\left(\dfrac32;-\dfrac12\right)$, vérifie $\dfrac92-\dfrac12-4=0$.
3. On pose $z=x+iy$. Les deux membres étant positifs, la condition équivaut à $|z-2|^2=4|z+1|^2$ : $$\begin{aligned}(x-2)^2+y^2=4\left[(x+1)^2+y^2\right]&\iff x^2-4x+4+y^2=4x^2+8x+4+4y^2\\&\iff 3x^2+12x+3y^2=0\\&\iff x^2+4x+y^2=0\\&\iff (x+2)^2+y^2=4.\end{aligned}$$ L'ensemble est le cercle de centre le point de coordonnées $(-2;0)$ et de rayon $2$. Contrôle : $O$ convient, car $|0-2|=2=2|0+1|$.
4. $\overline{z}+2i=\overline{z-2i}$ et un nombre a le même module que son conjugué. La condition équivaut donc à $|z-2i|=1$ : l'ensemble est le cercle de centre le point d'affixe $2i$ et de rayon $1$.
- cercle de centre $1-2i$, rayon 3 ; 2. droite $3x+y-4=0$ ; 3. cercle de centre $-2$, rayon 2 ; 4. cercle de centre $2i$, rayon 1