Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants.
- $z_1=(3+i)(2-5i)$
- $z_2=(1-3i)^2$
- $z_3=\dfrac{2+i}{1-i}$, puis donner $\mathrm{Re}(z_3)$ et $\mathrm{Im}(z_3)$.
- $z_4=i^{2026}$
On développe comme dans $\mathbb{R}$, puis on remplace $i^2$ par $-1$.
Pour le quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Pour $i^{2026}$, on cherche le reste de la division de $2026$ par $4$.
1. On développe puis on remplace $i^2$ par $-1$ : $$z_1=(3+i)(2-5i)=6-15i+2i-5i^2=6-13i+5=11-13i.$$
2. Avec l'identité $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ : $$z_2=(1-3i)^2=1-6i+9i^2=1-6i-9=-8-6i.$$
3. Le conjugué de $1-i$ est $1+i$. On multiplie en haut et en bas par $1+i$ : $$z_3=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{1^2+1^2}=\frac{1+3i}{2}=\frac12+\frac32i.$$ Donc $\mathrm{Re}(z_3)=\dfrac12$ et $\mathrm{Im}(z_3)=\dfrac32$ (la partie imaginaire est un réel, sans $i$).
Contrôle : $(1-i)\left(\dfrac12+\dfrac32i\right)=\dfrac12+\dfrac32i-\dfrac12i-\dfrac32i^2=2+i$.
4. On a $2026=4\times 506+2$ et $i^4=1$, donc $$i^{2026}=\left(i^4\right)^{506}\times i^2=1\times(-1)=-1.$$
$z_1=11-13i$ ; $z_2=-8-6i$ ; $z_3=\frac12+\frac32i$ ; $z_4=-1$