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Calculer une limite contenant sin(ax) : méthode (Terminale spé)

Méthode

Calculer une limite contenant sin(ax)

Pour une limite en $0$ de la forme $\frac{\sin(ax)}{x}$ avec $a \neq 0$ :

Faire apparaître au dénominateur exactement l'argument du sinus : $\frac{\sin(ax)}{x} = a \times \frac{\sin(ax)}{ax}$.
Poser $X = ax$ : quand $x \to 0$, $X \to 0$, donc $\frac{\sin X}{X} \to 1$ (limite d'une composée).
Conclure : $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(ax)}{x} = a$.

Exemple

Trois limites

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}$ : pour $x \neq 0$, $\frac{\sin(3x)}{x} = 3 \times \frac{\sin(3x)}{3x}$. Quand $x \to 0$, $X = 3x \to 0$ et $\frac{\sin X}{X} \to 1$. La limite vaut $3$.
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{5x} = \frac{1}{5}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = \frac{1}{5}$.
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{\sin(7x)}$ : pour $x$ proche de $0$ non nul, $\frac{\sin(2x)}{\sin(7x)} = \frac{\sin(2x)}{2x}\times\frac{7x}{\sin(7x)}\times\frac{2}{7}$. Les deux premiers facteurs tendent vers $1$. La limite vaut $\frac{2}{7}$.

Attention

En 0 seulement

Le résultat concerne la limite en $0$. En $+\infty$, c'est tout autre chose : pour $x > 0$, $-\frac{1}{x} \leqslant \frac{\sin x}{x} \leqslant \frac{1}{x}$, et par le théorème des gendarmes $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x} = 0$. Par ailleurs, $\sin x$ n'a pas de limite en $+\infty$.

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