Une limite voisine : énoncé (Terminale spé)

Pour $x$ proche de $0$, $\sin x \approx x$ : la tangente à la courbe de sinus en $0$ est la droite d'équation $y = x$. C'est l'approximation des petits angles utilisée en physique (pendule).

On peut aussi justifier la limite par la géométrie, en comparant pour $0 < x < \frac{\pi}{2}$ les aires d'un triangle, d'un secteur angulaire et d'un second triangle : on obtient $\sin x \leqslant x \leqslant \tan x$, puis $\cos x \leqslant \frac{\sin x}{x} \leqslant 1$ et on conclut par encadrement. Cette preuve est celle qu'on utilise quand on veut démontrer $\sin' = \cos$ au lieu de l'admettre ; elle n'est pas exigible.