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Limite fondamentale : énoncé (Terminale spé)
Théorème
Limite fondamentale
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$$
Démonstration : Limite fondamentale
Démonstration
Preuve par le nombre dérivé
La fonction sinus est dérivable en $0$ et $\sin'(0) = \cos 0 = 1$. Par définition du nombre dérivé : $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin 0}{x - 0} = \sin'(0).$$ Comme $\sin 0 = 0$, le taux d'accroissement vaut $\frac{\sin x}{x}$. Donc $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$.
S’entraîner
- Limites avec sin x / x
- Encadrement du cosinus
- Limite de (1 − cos x)/x² en 0
- Périmètre d'un polygone régulier et nombre π
- Type bac : étude de f(x) = sin x (1 + cos x)