Exercice corrigé : Valeurs exactes sans calculatrice

a) On retire un multiple de $2\pi$ : $\frac{23\pi}{6} = \frac{24\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\times 2\pi$. Par $2\pi$-périodicité, puis par parité de cosinus et imparité de sinus : $$\cos\frac{23\pi}{6} = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\frac{23\pi}{6} = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}.$$ Contrôle : $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$.

b) $-\frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{3\pi}{4}$ et $\frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4}$. Donc : $$\cos\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$ Contrôle : $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

c) $2025\pi = \pi + 2024\pi = \pi + 1012\times 2\pi$, donc $\cos(2025\pi) = \cos\pi = -1$.

Ensuite $\frac{2025\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{2024\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 1012\pi = \frac{\pi}{2} + 506\times 2\pi$, donc $\sin\frac{2025\pi}{2} = \sin\frac{\pi}{2} = 1$.

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