- Montrer que pour tout $x \in\, ]-\pi\,;\pi[$, $x \neq 0$ : $$\frac{1 - \cos x}{x^2} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \times \frac{1}{1 + \cos x}.$$
- En déduire $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}$.
- On en tire l'approximation $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ pour $x$ proche de $0$. Comparer, pour $x = 0{,}1$, cette approximation avec la valeur donnée par la calculatrice en mode radian.
Multiplier numérateur et dénominateur par $1 + \cos x$, qui ne s'annule pas sur $]-\pi\,;\pi[$.
Utiliser $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.
Les limites de produits et de quotients s'appliquent ensuite directement.
1. Pour $x \in\, ]-\pi\,;\pi[$, $\cos x > -1$, donc $1 + \cos x > 0$. Pour $x \neq 0$ dans cet intervalle : $$\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)} = \frac{1 - \cos^2 x}{x^2(1+\cos x)} = \frac{\sin^2 x}{x^2}\times\frac{1}{1+\cos x} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\times\frac{1}{1+\cos x}.$$
2. Quand $x \to 0$ : $\frac{\sin x}{x} \to 1$, donc $\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \to 1$ ; par continuité du cosinus en $0$, $1 + \cos x \to 2$, donc $\frac{1}{1+\cos x} \to \frac{1}{2}$. Par produit : $$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}.$$
3. Pour $x = 0{,}1$ : $1 - \frac{0{,}1^2}{2} = 1 - 0{,}005 = 0{,}995$. La calculatrice donne $\cos(0{,}1) \approx 0{,}995\,004$. L'écart est d'environ $4\times 10^{-6}$ : l'approximation est très bonne au voisinage de $0$. On remarque aussi que $0{,}995 \leqslant \cos(0{,}1)$, ce qui est cohérent avec l'inégalité $\cos x \geqslant 1 - \frac{x^2}{2}$.
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