Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin x\,(1 + \cos x)$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Partie A : étude de $f$
- Montrer que $f$ est impaire et $2\pi$-périodique. Expliquer pourquoi il suffit d'étudier $f$ sur $[0\,;\pi]$.
- a) Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = 2\cos^2 x + \cos x - 1$. b) Vérifier que pour tout réel $x$, $f'(x) = (2\cos x - 1)(\cos x + 1)$. c) Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0\,;\pi]$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\pi]$.
- Déterminer le maximum et le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Partie B : comportement en $0$ et zéros
- Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
- Calculer $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}$. Expliquer le lien avec la question 4.
- Résoudre dans $[-\pi\,;\pi]$ l'équation $f(x) = 0$.
2a) Dériver le produit, puis remplacer $\sin^2 x$ par $1 - \cos^2 x$.
2c) Sur $[0\,;\pi]$, le cosinus est strictement décroissant : $2\cos x - 1$ change de signe une seule fois.
- Utiliser l'imparité pour obtenir le minimum à partir du maximum sur $[0\,;\pi]$.
- Écrire $\frac{f(x)}{x} = \frac{\sin x}{x}(1+\cos x)$ ; le résultat doit être un nombre dérivé.
Partie A
1. Pour tout réel $x$ : $f(-x) = \sin(-x)(1 + \cos(-x)) = -\sin x\,(1+\cos x) = -f(x)$, donc $f$ est impaire. $f(x + 2\pi) = \sin(x+2\pi)(1 + \cos(x+2\pi)) = f(x)$, donc $f$ est $2\pi$-périodique.
Par périodicité, il suffit d'étudier $f$ sur $[-\pi\,;\pi]$, intervalle de longueur $2\pi$ ; par imparité, l'étude sur $[0\,;\pi]$ suffit : on complète par symétrie par rapport à l'origine, puis par translations de vecteurs $2k\pi\vec{\imath}$.
2. a) $f = uv$ avec $u(x) = \sin x$, $u'(x) = \cos x$, $v(x) = 1 + \cos x$, $v'(x) = -\sin x$ : $$f'(x) = \cos x\,(1+\cos x) - \sin^2 x = \cos x + \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = 2\cos^2 x + \cos x - 1.$$
b) $(2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 2\cos^2 x + 2\cos x - \cos x - 1 = 2\cos^2 x + \cos x - 1 = f'(x)$.
c) Sur $[0\,;\pi]$ : $\cos x + 1 \geqslant 0$, et $\cos x + 1 = 0 \iff x = \pi$.
$2\cos x - 1 > 0 \iff \cos x > \frac{1}{2}$. Le cosinus est strictement décroissant sur $[0\,;\pi]$ et $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ : donc $2\cos x - 1 > 0$ sur $\left[0\,;\frac{\pi}{3}\right[$, nul en $\frac{\pi}{3}$, $< 0$ sur $\left]\frac{\pi}{3}\,;\pi\right]$.
Valeurs : $f(0) = 0$ ; $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ ; $f(\pi) = 0$.
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\pi$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $2\cos x - 1$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| $\cos x + 1$ | $+$ | $+$ | $0$ | ||
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | |
| $f(x)$ | $0$ | $\nearrow$ | $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ | $\searrow$ | $0$ |
$f$ est croissante sur $\left[0\,;\frac{\pi}{3}\right]$ et décroissante sur $\left[\frac{\pi}{3}\,;\pi\right]$.
3. Sur $[0\,;\pi]$, $f$ prend ses valeurs dans $\left[0\,;\frac{3\sqrt{3}}{4}\right]$. Par imparité, sur $[-\pi\,;0]$ elle prend ses valeurs dans $\left[-\frac{3\sqrt{3}}{4}\,;0\right]$, avec $f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$. Par $2\pi$-périodicité, les valeurs prises sur $\mathbb{R}$ sont celles prises sur $[-\pi\,;\pi]$.
Le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $\frac{3\sqrt{3}}{4}$, le minimum est $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$.
Partie B
4. $f(0) = 0$ et $f'(0) = 2\times 1^2 + 1 - 1 = 2$. $T : y = 2x$.
5. Pour $x \neq 0$, $\frac{f(x)}{x} = \frac{\sin x}{x}\times(1 + \cos x)$. Quand $x \to 0$, $\frac{\sin x}{x} \to 1$ et $1 + \cos x \to 2$. Donc $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x} = 2$.
Comme $f(0) = 0$, $\frac{f(x)}{x} = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ est le taux d'accroissement de $f$ en $0$ : sa limite est $f'(0) = 2$, le coefficient directeur de $T$. Les deux calculs concordent.
6. $f(x) = 0 \iff \sin x = 0$ ou $1 + \cos x = 0$.
- Dans $[-\pi\,;\pi]$, $\sin x = 0 \iff x \in \{-\pi\,;0\,;\pi\}$.
- Dans $[-\pi\,;\pi]$, $\cos x = -1 \iff x \in \{-\pi\,;\pi\}$.
$$S = \{-\pi\,;0\,;\pi\}.$$
f croissante sur [0 ; π/3], décroissante sur [π/3 ; π] ; max 3√3/4, min −3√3/4 ; T : y = 2x ; limite 2 ; S = {−π ; 0 ; π}