Utiliser les croissances comparées : méthode (Terminale spé)
Utiliser les croissances comparées
- On vérifie qu'on est face à une forme indéterminée (sinon les opérations suffisent).
- On factorise par le terme dominant, en général $e^x$ en $+\infty$, de façon à faire apparaître $\dfrac{x^n}{e^x}$ ou $\dfrac{e^x}{x^n}$, ou $x^ne^x$ en $-\infty$.
- On cite les croissances comparées pour ces termes, puis on conclut par opérations.
- Si l'exponentielle est de la forme $e^{kx}$, on se ramène au cas de référence par un changement de variable $X=kx$.
Exemples de calculs
1. $\lim_{x\to+\infty}(e^x-x^3)$ : forme $\infty-\infty$. Pour $x>0$, $e^x-x^3=x^3\left(\dfrac{e^x}{x^3}-1\right)$. Par croissances comparées, $\dfrac{e^x}{x^3}\to+\infty$, donc la parenthèse tend vers $+\infty$ ; avec $x^3\to+\infty$, la limite est $+\infty$.
2. $\lim_{x\to+\infty}(x^2+1)e^{-x}$ : forme $\infty\times0$. On développe : $x^2e^{-x}+e^{-x}$. Par croissances comparées $x^2e^{-x}\to0$, et $e^{-x}\to0$. La limite est $0$.
3. $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x+x}{e^x-x^2}$ : forme $\frac\infty\infty$. On factorise par $e^x$ : $$\frac{e^x\left(1+\frac{x}{e^x}\right)}{e^x\left(1-\frac{x^2}{e^x}\right)}=\frac{1+xe^{-x}}{1-x^2e^{-x}}.$$ Par croissances comparées, $xe^{-x}\to0$ et $x^2e^{-x}\to0$ : la limite est $\dfrac11=1$.
4. $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{2x}}{x}$. On écrit $\dfrac{e^{2x}}{x}=2\times\dfrac{e^{2x}}{2x}$ et on pose $X=2x\to+\infty$. Comme $\dfrac{e^X}{X}\to+\infty$, par composition la limite est $+\infty$.
5. $\lim_{x\to-\infty}(x-3)e^x$. On développe : $xe^x-3e^x$. Par croissances comparées $xe^x\to0$, et $e^x\to0$ en $-\infty$. La limite est $0$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe en $-\infty$.
Ne pas voir des formes indéterminées partout
$\lim_{x\to-\infty}x^2e^{-x}$ n'est pas une forme indéterminée : $x^2\to+\infty$ et $e^{-x}\to+\infty$, donc le produit tend vers $+\infty$. De même, $\lim_{x\to+\infty}xe^x=+\infty$ directement par produit. Les croissances comparées ne servent que lorsque les règles d'opérations ne concluent pas.
S’entraîner
- Croissances comparées : reconnaître les situations
- Premières comparaisons avec sinus et cosinus
- Exponentielle et puissances : factoriser par le terme dominant
- Encadrements plus fins
- Une fonction plate en 0