Déterminer les limites suivantes.
a) $\lim_{x\to+\infty}(e^x-x^2+1)$
b) $\lim_{x\to+\infty}(2x+1)e^{-x}$
c) $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3e^x+x}{e^x-1}$
d) $\lim_{x\to-\infty}(x^2-x)e^x$
e) $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x/2}}{x}$
Identifier d'abord la forme indéterminée.
En $+\infty$, factoriser par $e^x$ ou par la plus grande puissance de $x$ pour faire apparaître $\frac{e^x}{x^n}$ ou $x^ne^{-x}$.
Pour e), poser $X=\frac x2$ et exprimer $x$ en fonction de $X$.
a) Forme $\infty-\infty$. Pour $x>0$ : $$e^x-x^2+1=x^2\left(\frac{e^x}{x^2}-1+\frac1{x^2}\right).$$ Par croissances comparées, $\frac{e^x}{x^2}\to+\infty$, donc la parenthèse tend vers $+\infty$. Avec $x^2\to+\infty$, par produit la limite est $+\infty$.
b) Forme $\infty\times0$. On développe : $(2x+1)e^{-x}=2xe^{-x}+e^{-x}$. Par croissances comparées, $xe^{-x}\to0$ ; par composition, $e^{-x}\to0$. La limite est $0$.
c) Forme $\frac\infty\infty$. Pour $x>0$, $e^x-1>0$ et : $$\frac{3e^x+x}{e^x-1}=\frac{e^x\left(3+xe^{-x}\right)}{e^x\left(1-e^{-x}\right)}=\frac{3+xe^{-x}}{1-e^{-x}}.$$ Par croissances comparées $xe^{-x}\to0$, et $e^{-x}\to0$. La limite est $\dfrac31=3$ : la droite d'équation $y=3$ est asymptote horizontale en $+\infty$.
d) Forme $\infty\times0$. On développe : $(x^2-x)e^x=x^2e^x-xe^x$. Par croissances comparées en $-\infty$, $x^2e^x\to0$ et $xe^x\to0$. La limite est $0$.
e) Forme $\frac\infty\infty$. On pose $X=\frac x2$, donc $x=2X$ : $$\frac{e^{x/2}}{x}=\frac{e^X}{2X}=\frac12\times\frac{e^X}{X}.$$ Quand $x\to+\infty$, $X\to+\infty$ et $\frac{e^X}{X}\to+\infty$ par croissances comparées. Par composition puis produit par $\frac12>0$, la limite est $+\infty$.
a) $+\infty$ ; b) $0$ ; c) $3$ ; d) $0$ ; e) $+\infty$