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Théorème des gendarmes (admis) : énoncé (Terminale spé)

Théorème

Théorème des gendarmes (admis)

Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites et $\ell$ un réel. Si, à partir d'un certain rang,

$$u_n\le v_n\le w_n$$

et si $\lim u_n=\lim w_n=\ell$, alors $(v_n)$ converge et $\lim v_n=\ell$.

Exemple

Encadrer un cosinus

Soit, pour $n\ge1$, $v_n=\dfrac{n+\cos n}{n}=1+\dfrac{\cos n}{n}$.

Pour tout $n$, $-1\le\cos n\le1$. En divisant par $n>0$ :

$$1-\frac1n\le v_n\le1+\frac1n.$$

Les suites $\left(1-\frac1n\right)$ et $\left(1+\frac1n\right)$ convergent toutes deux vers $1$. D'après le théorème des gendarmes, $\lim v_n=1$.

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