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Passage à la limite dans une inégalité (admis) : énoncé (Terminale spé)
Propriété
Passage à la limite dans une inégalité (admis)
Si, à partir d'un certain rang, $u_n\le v_n$, et si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent respectivement vers $\ell$ et $\ell'$, alors $\ell\le\ell'$.
En particulier, si à partir d'un certain rang $a\le u_n\le b$ et si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $a\le\ell\le b$.
Attention
Les inégalités strictes deviennent larges
Pour tout $n\ge1$, $\dfrac1n>0$, et pourtant $\lim\dfrac1n=0$. Le passage à la limite transforme une inégalité stricte en inégalité large : de $u_n<v_n$ on déduit seulement $\ell\le\ell'$.
S’entraîner
- Utiliser la définition de la limite
- Opérations sur les limites
- Lever une indétermination par le terme dominant
- Limites de suites géométriques
- Comparaison et gendarmes avec $(-1)^n$ et $\sin n$
Dans le cours
Limites de suites : Passage à la limite dans une inégalité (admis)