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Théorème de comparaison (limite infinie) : énoncé (Terminale spé)

Théorème

Théorème de comparaison (limite infinie)

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que, à partir d'un certain rang, $u_n\le v_n$.

Démonstration : Théorème de comparaison (limite infinie)

Démonstration

Démonstration (exigible) du premier point

On suppose qu'il existe un entier $N_1$ tel que, pour tout $n\ge N_1$, $u_n\le v_n$, et que $\lim u_n=+\infty$.

Soit $A$ un réel. Comme $(u_n)$ tend vers $+\infty$, il existe un entier $N_2$ tel que, pour tout $n\ge N_2$, $u_n>A$.

Notons $N$ le plus grand des deux entiers $N_1$ et $N_2$. Pour tout $n\ge N$, les deux inégalités sont vraies, donc

$$v_n\ge u_n>A.$$

Ainsi, pour tout réel $A$, l'intervalle $]A\,;+\infty[$ contient tous les termes $v_n$ à partir du rang $N$ : $\lim v_n=+\infty$.

Le second point se démontre de la même façon avec les intervalles $]-\infty\,;A[$.

Exemple

Utiliser une minoration

Soit $u_n=n+\sin n$. Pour tout $n$, $\sin n\ge-1$, donc $u_n\ge n-1$.

Or $\lim(n-1)=+\infty$. Par comparaison, $\lim u_n=+\infty$.

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