- Vérifier que l'inégalité $2^n\ge n^2$ est fausse pour $n=3$ et vraie pour $n=4$.
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\ge4$, $2^n\ge n^2$.
- En déduire $\lim_{n\to+\infty}\dfrac n{2^n}$.
- En déduire $\lim_{n\to+\infty}\dfrac{2^n}n$.
- Déterminer la limite de la suite définie par $w_n=\dfrac{n+2^n}{2^n}$.
Dans l'hérédité, partir de $2^{n+1}=2\times2^n\ge2n^2$ et comparer $2n^2$ à $(n+1)^2$.
Le signe de $n^2-2n-1$ s'étudie en l'écrivant $(n-1)^2-2$.
Pour la question 3, diviser l'inégalité de la question 2 pour encadrer $\dfrac n{2^n}$ entre $0$ et une suite connue.
1. $2^3=8<9=3^2$ : l'inégalité est fausse pour $n=3$. $2^4=16\ge16=4^2$ : elle est vraie pour $n=4$.
2. Pour $n\ge4$, notons $P(n)$ : « $2^n\ge n^2$ ».
Initialisation. $P(4)$ est vraie (question 1).
Hérédité. Soit $n\ge4$ tel que $2^n\ge n^2$. Alors $2^{n+1}=2\times2^n\ge2n^2$.
Or $2n^2-(n+1)^2=n^2-2n-1=(n-1)^2-2$. Comme $n\ge4$, $(n-1)^2\ge9$, donc $2n^2-(n+1)^2\ge7>0$. Ainsi $2^{n+1}\ge2n^2\ge(n+1)^2$ : $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion. Pour tout $n\ge4$, $2^n\ge n^2$.
3. Pour $n\ge4$, $2^n\ge n^2>0$, donc $\dfrac1{2^n}\le\dfrac1{n^2}$ et, en multipliant par $n>0$ :
$$0\le\frac n{2^n}\le\frac n{n^2}=\frac1n.$$
Comme $\lim\dfrac1n=0$, le théorème des gendarmes donne $\lim\dfrac n{2^n}=0$.
4. Pour $n\ge4$, en divisant $2^n\ge n^2$ par $n>0$ : $\dfrac{2^n}n\ge n$. Comme $\lim n=+\infty$, par comparaison $\lim\dfrac{2^n}n=+\infty$.
5. $w_n=\dfrac n{2^n}+1$. D'après la question 3, $\lim w_n=0+1=1$.
$\lim\dfrac n{2^n}=0$ ; $\lim\dfrac{2^n}n=+\infty$ ; $\lim w_n=1$